Ähnlichkeit
,
[* 1] im allgemeinen die Übereinstimmung mehrerer
Dinge nach mehreren oder den meisten
ihrer Merkmale, im Unterschied von der
Gleichheit oder der völligen Übereinstimmung mehrerer
Dinge nach allen ihren Merkmalen.
Je weniger wesentlich die übereinstimmenden Merkmale an den
Dingen sind, desto zufälliger ist ihre Ähnlichkeit
Unmittelbar in die
Augen fallend ist die Ähnlichkeit
nur an gleichartigen
Dingen, an nicht gleichartigen läßt sie sich nur auf die
Weise darlegen, daß man dieselben zu einander in vermittelnde Beziehungen setzt, und es ist insbesondere
Sache des
Witzes und
Scharfsinns, selbst an den heterogensten Gegenständen verborgene Ähnlichkeiten
aufzufinden.
Der
Begriff der Ähnlichkeit
ist vornehmlich in den
Naturwissenschaften und in der
Mathematik von Bedeutung. Die
Naturbeschreibung geht bekanntlich bei der
Klassifikation der in ihren Bereich gehörigen Gegenstände von deren Ähnlichkeit
oder der
im
Bau ihrer
Organe sich kundgebenden Übereinstimmung aus; die physiologischen und physikalischen
Wissenschaften aber suchen
mit
Hilfe der zwischen den Äußerungen der verschiedenen
Naturkräfte stattfindenden Ähnlichkeit
(Analogie) die
diese bedingenden allgemeinen
Naturgesetze zu erkennen. Die Ähnlichkeit
, welche die Abkömmlinge der
Tier- und Pflanzenarten untereinander
und mit ihren Erzeugern besitzen, ist bezüglich ihrer
Ursachen in der neuesten Zeit vielfach Gegenstand wissenschaftlicher
Untersuchungen geworden. Die Darwinsche
Lehre
[* 2] von der Entstehung und Abänderung der
Arten und die genauere Bestimmung der
Vererbungsgesetze haben in dieser Beziehung wichtige und unerwartete
Resultate geliefert. - In der
Mathematik versteht man
unter Ähnlichkeit
die Übereinstimmung von
Figuren hinsichtlich ihrer Form und ohne Rücksicht auf ihre
Größe.
Das Zeichen der Ähnlichkeit
ist ~ (ein liegendes
s, v. lat. similis, »ähnlich«).
Die
Geometrie lehrt, daß ebene
Vielecke
[* 3] ähnlich sind, wenn sie gleich viel einander paarweise entsprechende
(ähnlich liegende) Seiten haben, und wenn alle Seiten des einen mit den entsprechenden des andern in Bezug auf ihre
Größe
in demselben
Verhältnis stehen, so daß, wenn eine Seite der einen
[* 1]
Figur 2-, 3-, 4 etc.
mal so
groß ist als die entsprechende der andern, auch jede der übrigen Seiten in der einen
[* 1]
Figur
2-, 3-, 4 etc. mal so groß sein muß als die entsprechende der andern.
Ferner sind die Winkel [* 4] zwischen entsprechenden Seiten und Diagonalen in beiden Figuren gleich groß, und die Flächen der beiden Figuren verhalten sich wie die Quadrate der entsprechenden Seiten. Verhalten sich also die Seiten der einen zu denen der andern wie 2:5, so stehen die Flächen in dem Verhältnis 4:25. Man kann zwei ähnliche ebene Polygone, z. B. die Fünfecke ABCDE und A'B'C'D' (s. Figur), immer so legen, daß sich die Verbindungslinien entsprechender Punkte, A A', B B' etc., alle in einem Punkt S schneiden, dem Ähnlichkeitspunkt.
Die entsprechenden Seiten AB und A'B',
BC und B'C' etc. sind dann parallel, und die
Abstände vom
Ähnlichkeitspunkt,
SA und
SA',
SB und SB' etc., verhalten sich wie zwei entsprechende Seiten AB und AB'. Die beiden
Figuren liegen
dann ähnlich. Zwei ähnliche
Polygone lassen sich immer auf zweierlei Art in ähnliche
Lage bringen, einmal so, daß die entsprechenden
Punkte A und A',
B und B' etc. von S aus nach einerlei
Richtung liegen (vgl. I und II in der
[* 1]
Figur), dann aber auch so, daß
SA und SA',
SB und SB' etc. entgegengesetzte
Richtung haben (I und III in der
[* 1]
Figur). Im erstern
Fall ist
S der äußere, im letztern der innere
Ähnlichkeitspunkt der
Vielecke. Da jede krummlinige
[* 1]
Figur sich mit beliebiger
Annäherung
als ein
Polygon von sehr vielen Seiten betrachten läßt, so ist der
Begriff der Ähnlichkeit
auch auf
Kurven anwendbar,
und es sind beispielsweise zwei
Kreise
[* 5] immer als ähnlich und ähnlich liegend zu betrachten; auch zwei
Parabeln sind immer
ähnlich, zwei
Ellipsen aber nur dann, wenn ihre
Achsen in gleichem
Verhältnis stehen.
Ähnliche
Körper sind solche, welche von einer gleichen Anzahl der
Reihe nach ähnlicher, zu einander
gleich geneigter, ebener
Figuren in derselben
Ordnung begrenzt sind.
Analog wie auf
Kurven läßt sich der
Begriff der Ähnlichkeit
auch
auf krummflächig begrenzte
Körper ausdehnen, und es sind z. B. zwei
Kugeln stets ähnlich. Auch die ähnliche
Lage und die
Ähnlichkeitspunkte sind für ähnliche
Körper vorhanden. Die Oberflächen solcher
Körper verhalten sich
wie die
Quadrate, die räumlichen
Inhalte derselben wie die Kuben entsprechender
Linien. Wenn also die Seiten eines
Oktaeders
viermal so groß sind als die eines andern ihm ähnlichen, so ist die Oberfläche des ersten 16mal so groß als die des zweiten
und der
Inhalt des ersten 64mal so groß als der des andern.